Hegel na Matemática

O que Hegel chama de momento é formalizado por uma (co)modalidade em uma categoria C com um operador □ : X → □X, onde □X é chamado de aspecto de X sob □ que mapeia um morfismo f : Y → X para um morfismo □(f) : □Y → □X. □ é idempotente. Há para todo X um □X → X (modalidade; momento anterior) ou X → 🔴(X) (comodalidade; momento sucessivo). Y = □X ⇔ □Y = Y. Os tipos que são invariantes sob um momento formam sua própria subcategoria imersiva: C□ → C. 

unidade-ps (unidade de um momento anterior a um momento sucessivo oposto) = □ ⊣ 🔴

unidade-sp (unidade de um momento sucessivo a um momento anterior oposto) = 🔴 ⊣ □

A unidade de opostos é dada pelo par de momentos △_1 ⊣ △_2 que satisfaz a condição de adjunção: para todo X e Y há um morfismo △_(1)Y → X e um morfismo Y → △_2(X), onde se □ (momento anterior) ⊣ 🔴_1 (momento sucessor) e □ ⊣ 🔴_2, então 🔴_1 = 🔴_2. Todo tipo X está entre seus aspectos antecessores e sucessores: □X → X → 🔴X (note, esses momentos não são temporais, mas causais).

Uma unidade □ ⊣ 🔴, digamos, C_□ = C_🔴, tem 2 imersões e uma projeção de C para V e uma unidade 🔴 ⊣ □ tem uma imersão de V para C e 2 projeções de C para V. Disto segue em particular que em uma unidade-sp □🔴X = □□Y = □Y = 🔴X e vice-versa, então □🔴 = 🔴 e 🔴□ = □ (□ está contido em 🔴; suprassunção esquerda). Assim, um tipo é puramente de um momento se e somente se é puramente de outro. As adjunções podem ser aplicadas a qualquer 2-categoria.

△_3 ⊣ △_4 é um nível superior de △_2 ⊣ △_1.

Um conceito é um tipo. Para toda proposição lógica p, há um tipo T que denota as razões pela qual p é verdadeiro. Essa é a perspectiva interna lógica sobre tipos, sob a semântica da interpretação Brouwer-Heyting-Kolmogorov. A perspectiva externa lógica sobre tipos é um contexto para lógica e uma proposição p corresponde a uma imersão a um sub-universo U → X. Ou seja, nesta perspectiva, um tipo é uma determinada estrutura matemática.

A revolução que HoTT causou foi tratar igualdade como uma estrutura, não uma propriedade (que na lógica clássica é a relação de equivalência mais forte possível). Assim, para qualquer x e y em T há um x = y. A propriedade de transporte afirma que todo elemento igual a y também deve ser igual a x.

O puro ser é *, onde não há nenhuma diversidade e nenhuma referência a nada fora dele. * é um espaço completamente simétrico e homogêneo, no sentido que só há um morfismo T → *, onde tudo em T torna-se a mesma coisa em *. Já o Nada é o tipo vazio ∅. Ele aponta para tudo. Eles não são axiomas: são deduzidos da existência de produtos e coprodutos finitos do universo u. ∅T = ∅. *T = *. Como ∅ tem uma identidade ∅ = ∅, então ∅ implica a existência do ser.

O sub-universo u_#, que é invariante sob #, é o maior universo o qual a lei do terceiro excluído vale. Se a lei do terceiro excluído for considerada universalmente válida, então toda a sequência de estruturas que estamos prestes a derivar desmorona na trivialidade.

“Este é um tipo de estrutura espacial, que não é apenas determinada por pontos, mas vai além deles, tipos de vizinhanças locais de pontos que constroem a estrutura espacial de T.” (sobre o terceiro incluído)

Um constituinte t de T implica ♯r(t) : ♯T o qual ¬¬p é verdade, ou seja, T → ♯T implica p → ¬¬p. A falha do terceiro excluído pode ser medida pela quantidade de tipos não iguais T que são mapeados para a mesma dupla negação T♯, como no caso onde ♯_T(t_1) e ♯_T(t_2) são diferentes, i.e, oferecem diferentes razões para qual uma proposição p é verdadeira. Isso significa que não podem existir meios espaciais para distinguir os pontos de ♯T, todos eles existem no mesmo lugar, mas não são iguais, de modo que qualquer morfismo em T já é contínuo. Portanto, ♯ é o momento de continuidade, e seu oposto, ♭, chamado de momento de discretude (ou momento de repulsão), trivializa a estrutura espacial extraindo os seus pontos e colocando cada um em seu próprio pedaço de espaço, completamente desconectado de qualquer outro pedaço, formando o espaço discreto ♭X.

Há, portanto, a unidade ♭X → X → ♯X, ou ♭ ⊣ ♯, que dá origem a quantidade. ∫ (modalidade de atração) também é o oposto de ♭, e por ser uma unidade-sp, ∫X é discreto. ♭X → X → ∫X pode ser entendido como a diferença entre o Um e os Muitos. O sistema de modalidades ∫ ⊣ ♭ ⊣ ♯ é chamado de coesão (medida) e ∫ é uma generalização da característica de Euler e as ferramentas dentro desta unidade já são suficientes para definir uma noção muito geral de uma integral.

A unidade ∫ ⊣ ♭ dá origem a unidade ℑ ⊣ &, onde o morfismo X → ∫X se torna X → ℑX → ∫X, onde ℑX é uma contração dos "caminhos pequenos" de X, ou seja, caminhos infinitesimais. Há um oposto a unidade ℑ ⊣ &, que é ℜ, que contém as partes de X que não são infinitesimais. O sistema de opostos ℜ ⊣ ℑ ⊣ & então dá origem a estrutura infinitesimal de X (coesão diferencial/elástico: é a partir desse sistema elástico que podemos derivar coisas como distância e ângulos, é onde a geometria euclidiana aparece pela primeira vez). ℑ e ℜ são apenas meios de trivializar infinitesimais, mas assim como ♭ (discretude) e ♯ (devir), trivializam de maneira oposta. Podemos induzir as partes infinitesimais de ℜX, já ℑX contém as vizinhanças de todos os pontos de X, contraindo X a um infinitesimal plano, pois todo morfismo neste espaço é constante. Isso implica que se tivermos um espaço classificante de corpos físicos f : X → &Y, então f^-1 : ℑX → Y, ou seja, conseguimos trivializar toda função infinitesimal. A unidade ℑ ⊣ & expressa o que Hegel chama de idealidade, quando fala da dialética do finito e infinito. Já a unidade ℜ ⊣ & corresponde a realidade.

Há uma unidade ⇝ ⊣ Rh dada pelo operador ⇒. ⇝X é parcialmente uma estrutura infinitesimal e é não-comutativo. Nos modelos, exigiremos que esses espaços não comutativos sejam na verdade superespaços, que modelam espaços com dois tipos diferentes de partículas neles, férmions e bósons. A modalidade ⇝ bosônica retira a parte fermiônica do espaço e vice-versa. Bósons representam força e férmions representam matéria (Hegel reconheceu a natureza bosônica da luz, e identificou como o contrário desta, a rigidez). A modalidade reonômica Rh classifica corpos em espaços X que são trivialmente estendidos do subespaço bosônico ⇝X para todo o X.

Finalmente, id ⊣ id, sendo o último estágio até que esse processo seja externalizado.

Então há uma externalização em um ∞-topos. Aqui lidamos com a natureza. O modelo não-trivial mais simples é o ∞-topos de ∞-grupóides suaves super formais ∞ − ​​SFS, no entanto, um refinamento pode ser necessário, por exemplo, para incorporar coesão singular na teoria. Independentemente disso, podemos supor para nossos propósitos que a modalidade reonômica Rh é representada por um objeto R^(0|1) no sentido de que a ação de Rh consiste em trivializar qualquer instância de R^(0|1) em qualquer espaço em um ponto simples. Isso é verdade em ∞−SFS. Segue-se das definições que R^(0|1) é puramente fermiônico e não tem conteúdo bosônico. Assim, nós o chamamos de superponto fermiônico. Deste superponto fermiônico, através de uma série de extensões canônicas, emana um pedaço de espaço-tempo de 11 dimensões R^(10,1|32), que possui exatamente as propriedades exigidas pela teoria-M, a generalização conjunta da teoria das cordas e da supergravidade. Nosso universo físico seria então determinado por alguma variedade em ∞ − SFS ou alguma extensão dela, com alguma força em campo que é a força fundamental unificada que se manifesta como as quatro forças fundamentais de nosso universo depois de M através de um processo chamado redução Kaluza-Klein, que produz o espaço-tempo quadridimensional que todos conhecemos e amamos.

Uma conjectura de Sati e Schreiber chamada Hipótese H, afirma que tal corpo seria descrito por um ciclo na quarta cohomotopia torcida equivariante diferencial J sobre X, então um refinamento equivariante diferencial de uma seção do morfismo J na esfera 4-dimensional. Dada a importância das esferas n-dimensionais e do J-morfismo na teoria da homotopia (e em geral), este resultado seria altamente satisfatório.

“Outra maneira de entender essas igualdades é como equivalências, na medida em que fornecem um meio pelo qual duas estruturas podem ser exibidas como cumprindo a mesma função. [...] Além disso, torná-los iguais perderia informações valiosas.”

“ Todas as coisas são diferentes;  ou: não existem duas coisas iguais.“

– Hegel